16:00 〜 16:15
[SSS05-08] 確率波動方程式による、破壊伝播のモデル化
★招待講演
キーワード：動的破壊シミュレーション、震源過程、確率微分方程式、数理地震学
断層破壊のパターンが多様であることは、多数の震源インバージョン解析によって明らかにされており、その複雑さは単純な境界条件を持つ決定論的モデルで容易に扱えるものでないことが窺える。その破壊と滑りの伝播をモデル化するために、様々な確率的アプローチが提唱されている。例えば、フラクタル的な記述[Andrews 1980 BSSA]、空間的ランダムパッチモデル[Ide&Aochi 2005 GJI]、 Langevin 方程式[Wu&Chen 2018 arXiv]、確率的セル・オートマトン (PCA)[Ide&Yabe 2019 PAGEOPH]、およびランダムノイズを伴なう境界積分方程式[Aso+2019 GRL]などである。これらのモデルはインバージョンが示す震源過程のいくつかの側面を説明することに成功してはいるものの、数学的な枠組みにおいてどのように解釈すればよいかは必ずしも明らかでない。もしそれが可能になれば、数学解析により更なる情報を引き出すことが期待できる。 Hirano[2002 Sci.Rep.] は、確率微分方程式を用いて点震源の震源時間関数をモデル化し、そのような関数が非負性、有限継続時間、ω-2-モデルに従うスペクトル形状、時間の3乗に比例するモーメント成長速度、およびGR則を満たすことを示した。このモデルを点震源から断層面に拡張することができれば、時空間的な破壊伝播の理解に役立つことが期待される。
そのために、上記の点震源モデルを拡張した確率波動方程式を考える。従来のモデルでは、確率常微分方程式の一種で表現される Bessel 過程を考え、その解2つの畳み込み積分をとったものが震源時間関数であるとされた。それに代わり、ここでは時空間的な断層滑り (D) および滑り速度 (V:=∂tD) の分布を確率変数とし、 V は平方 Bessel 過程に滑り分布の Laplacian (ΔD) と非線形な乗法的ノイズ (√V dW) を加えた式に従うとする。単純化のため1次元断層を考えると、Figure 1 に示す数値例のように、このモデルは以下4つを満たすことが分かった。それは、 1) 巨視的破壊伝播速度が波動伝播速度に近い (ただしそれよりは小さい) こと、 2) インバージョン解析[e.g., Hicks+2020 Nat.Geos.]によって発見されている、破壊の逆伝播、 3) 破壊伝播の自発的停止、そして 4) k を空間波数として、最終滑り分布の振幅スペクトル包絡線が k-2-モデルで近似されること、である。
このモデルについて、数学的・数値的に考察する。モデル方程式そのものは、スロー地震の表現に有効なPCA[Ide&Yabe 2019 PAGEOPH]と異なり、滑り分布の Laplacian の導入により、拡散ではなく伝播過程を含む。偏微分方程式という視点では、このモデルは境界積分方程式に時空間ノイズを加えた Aso+[2019 GRL] のものに似ている。しかし本モデルでは、ノイズ振幅が滑り速度の平方根に比例することで、滑りが加速することによりランダムな破壊伝播が促進される。これは Aso+[2019 GRL] のモデルが定常ノイズを仮定したのと異なる点である。このようなモデルの解が如何に振る舞うかを示し、その結果をインバージョン解析が示す断層挙動と比較し、また数学的な背景についても議論する。
そのために、上記の点震源モデルを拡張した確率波動方程式を考える。従来のモデルでは、確率常微分方程式の一種で表現される Bessel 過程を考え、その解2つの畳み込み積分をとったものが震源時間関数であるとされた。それに代わり、ここでは時空間的な断層滑り (D) および滑り速度 (V:=∂tD) の分布を確率変数とし、 V は平方 Bessel 過程に滑り分布の Laplacian (ΔD) と非線形な乗法的ノイズ (√V dW) を加えた式に従うとする。単純化のため1次元断層を考えると、Figure 1 に示す数値例のように、このモデルは以下4つを満たすことが分かった。それは、 1) 巨視的破壊伝播速度が波動伝播速度に近い (ただしそれよりは小さい) こと、 2) インバージョン解析[e.g., Hicks+2020 Nat.Geos.]によって発見されている、破壊の逆伝播、 3) 破壊伝播の自発的停止、そして 4) k を空間波数として、最終滑り分布の振幅スペクトル包絡線が k-2-モデルで近似されること、である。
このモデルについて、数学的・数値的に考察する。モデル方程式そのものは、スロー地震の表現に有効なPCA[Ide&Yabe 2019 PAGEOPH]と異なり、滑り分布の Laplacian の導入により、拡散ではなく伝播過程を含む。偏微分方程式という視点では、このモデルは境界積分方程式に時空間ノイズを加えた Aso+[2019 GRL] のものに似ている。しかし本モデルでは、ノイズ振幅が滑り速度の平方根に比例することで、滑りが加速することによりランダムな破壊伝播が促進される。これは Aso+[2019 GRL] のモデルが定常ノイズを仮定したのと異なる点である。このようなモデルの解が如何に振る舞うかを示し、その結果をインバージョン解析が示す断層挙動と比較し、また数学的な背景についても議論する。