[S-TT40] 最先端ベイズ統計学が拓く地震ビッグデータ解析

[STT40-P08] フルベイズ推定における事後分布の縮約で生じる問題と地球物理学的応用での注意

*佐藤 大祐¹、深畑 幸俊¹、野末 陽平² (1.京都大学防災研究所、2.京都大学大学院理学研究科)

キーワード：インバージョン解析、フルベイズ推定、地球物理学的応用

ベイズ推定では、観測方程式に基づくデータ生成分布とモデルパラメターの事前分布とから事後分布を構成する。フルベイズ推定では、これらの分布関数の広がりを表す超パラメターについても事前分布を導入し、モデルパラメターと超パラメターに関する同時事後分布を評価する。フルベイズ推定ではモデルパラメターと超パラメターの両方を客観的かつ確率的に評価できるという利点がある (Fukuda and Johnson, 2008) ものの、その形式解である同時事後分布の解釈は難しく、同時事後分布からモデルパラメターの有用な情報を引き出す操作（縮約）が結果の解釈において本質的である（松浦, 1990）。たとえば、佐藤・深畑 （2019; 2020, 地震学会）は、データ数を固定してモデルパラメター数を増やした際に同時事後分布が病的になることを報告している; 具体的には、同時事後分布の大域的確率最大が過度に滑らかな解を生成し、適切な推定値が大域最大とも局所最大とも近接しなくなる（最終的に同時事後分布において確率がほぼ０になる）。

本研究では、上述の結果を地殻変動データに適用することで、フルベイズ推定での縮約がどのようにインバージョン解析結果の解釈に影響するかを示す。Sato and Fukahata (2021, AOGS)は同時事後分布の周辺化に注目し、モデルパラメターの推定において、以下のように縮約を分類した: (1)超パラメターに関して最大化された、モデルパラメターと超パラメターの同時事後分布 (プロファイル尤度法; Murphy and Van der Vaart 2000; 後述のMAP推定に対応)、(2)同時事後分布を超パラメターについて積分することで得られるモデルパラメターの周辺事後分布 (周辺尤度法; Carlin and Louis 2008; Fukuda and Johnson, 2008)、(3)同時事後分布をモデルパラメターについて積分することで得られる超パラメターの周辺事後分布 (赤池ベイズ情報量規準; Akaike, 1980)。線形逆問題でモデルパラメター数を増やす漸近極限を考えると、これらの分布関数から有限確率で出現する解は次の二つの解(MAPとABIC)で代表される: 同時事後分布の確率最大 (MAP推定値)と超パラメターの周辺事後分布のピーク値を同時事後分布に代入した場合の最適なモデルパラメター (ABIC推定値)。発表では、空間的に離散的に分布するGNSSデータから、空間平滑化の先験情報を用いて変位速度場を推定する問題を取り上げる。基底関数展開法 (e.g. Okazaki et al., 2021)によりモデルパラメターと超パラメターの同時事後分布を作成し、そのMAPおよびABIC推定値が基底関数の個数（モデルパラメター数）に応じてどのように変化するかを調べる。この比較により、基底関数を増やすにつれ、ABIC推定値ではより詳細な構造が得られるようになり、さらにはデータが規定する解像度上限で解像度が頭打ちとなる一方、MAP解では過度に滑らかな解が得られてしまうことが示されるであろう。基底関数を多く用いることで観測データを最大限に利用することを目指す高解像度推定では、縮約に特段の注意が必要である。