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[SSS07-14] 海水層の重力を考慮したreflectivity法（離散化波数法）による近地の津波を含む全波動計算
キーワード：近地津波、重力、理論地震記象、離散化波数法、地震波動
水平成層構造における近地の地震動の計算にはしばしばreflectivity法と呼ばれる半解析的な手法が用いられる．例えば，断層震源におけるすべりインバージョンのGreen関数の計算にもreflectivity法が多用されている．本研究では，表層に置いた海水層に重力項を導入することにより，近地の海底下で発生した地震による地震動や海中音波だけでなく津波も含む全波動場をreflectivity法で計算する方法を提案する．海中や海底の圧力も（歪も）計算できる．
reflectivity法は，地震波動場の支配方程式を時間についてFourier変換，水平方向の空間座標について2次元のFourier変換（平面波展開）またはFourier-Bessel変換（円筒波展開）を施して水平波数－周波数領域の方程式にする．この方程式は，微分が鉛直座標についてのみ残っている連立の常微分方程式で，行列を使った各種の手法（総称して行列法と呼ばれる）で解かれる．行列法には非常に多くの種類があり，中でも古典的なpropagator matrix法が単純さゆえに現在でもよく用いられるが，震源を含む計算では数値的に不安定である．不安定を完全に克服した数値的に最も安定な手法の一つに，反射行列・透過行列に基づく解法がある．そこにも定式化が異なる様々なバリエーションがあるが，地震学ではKennett and Kerry (1979)流とLuco and Apsel (1983)流の二つが主流である．本研究では，Kennett and Kerry (1979)流の解法を採用した．Fourier-Bessel逆変換の波数積分はBouchon (1981)の離散化波数法(discrete wavenumber summation method)を使用した．
以下のように定式化を行い，計算コードを開発した．まず，（一定の）重力加速度を含む均質な流体層のためのAki and Richards (2002)のmotion-stress vectorとlayer matrixに対応する式を導出した。この際，震央近傍の海中及び海底における津波発生時の圧力変化の式（Saito (2019)の(5.65)式に対応）も得られた。次に，海面と海底面における反射・透過係数の式を求めた．それらlayer matrixと反射・透過行列を通常の重力項を含まないreflectivity法の当該部分の代わりに置き換えた．この方法を，竹中・渡邉 (2021）のreflectivity法の計算コードを用いて実装した．
reflectivity法は一般に周波数領域の解法で，時間領域への変換はFFTなどの数値的な方法で行われる．そのため，津波の計算ではステップ的な近地のfling-step変位（永久変位）をreflectivity法で計算する場合（例えば，Wu et al., 2021）と同様に周波数に虚数部を追加する技法の使用が本質的な役割を果たす．これは，Laplace変換をFourier変換を経由して実施し，Laplace逆変換をFFTを用いて数値的に行うことと等価である．
本研究で提案する計算法は，海底に設置された各種の関連センサーの記録を陸域の地震動観測点の波形記録ように解析して震源過程の情報を抽出することを可能にすることが期待される。
Aki, K. and P. G. Richards (2002). Quantitative Seismology (2nd edition), University Science Book, Sausalito.
Bouchon, M. (1981). A simple method to calculate Green's functions for elastic layered media, Bulletin of the Seismological Society of America, 71, 959--971.
Kennett, B. L. N. and N. J. Kerry (1979). Seismic waves in a stratified half space, Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 57, 557--583.
Luco, J. E. and R. J. Apsel (1983). On the Green’s functions for a layered half-space, Part I, Bulletin of the Seismological Society of America, 73, 909--929.
Saito, T. (2019). Tsunami Generation and Propagation, Springer, Tokyo.
竹中博士・渡邉禎貢 (2021). 水平成層構造における地中の近地理論地震記象, 岡山大学地球科学研究報告, 27(1), 29--38. https://doi.org/10.18926/ESR/61956
Wu, S-H., A. Nozu, Y. Nagasaka (2021), Accuracy of near-fault fling-step displacements estimated using the discrete wavenumber method, Bulletin of the Seismological Society of America, 111(1), 309--320.
reflectivity法は，地震波動場の支配方程式を時間についてFourier変換，水平方向の空間座標について2次元のFourier変換（平面波展開）またはFourier-Bessel変換（円筒波展開）を施して水平波数－周波数領域の方程式にする．この方程式は，微分が鉛直座標についてのみ残っている連立の常微分方程式で，行列を使った各種の手法（総称して行列法と呼ばれる）で解かれる．行列法には非常に多くの種類があり，中でも古典的なpropagator matrix法が単純さゆえに現在でもよく用いられるが，震源を含む計算では数値的に不安定である．不安定を完全に克服した数値的に最も安定な手法の一つに，反射行列・透過行列に基づく解法がある．そこにも定式化が異なる様々なバリエーションがあるが，地震学ではKennett and Kerry (1979)流とLuco and Apsel (1983)流の二つが主流である．本研究では，Kennett and Kerry (1979)流の解法を採用した．Fourier-Bessel逆変換の波数積分はBouchon (1981)の離散化波数法(discrete wavenumber summation method)を使用した．
以下のように定式化を行い，計算コードを開発した．まず，（一定の）重力加速度を含む均質な流体層のためのAki and Richards (2002)のmotion-stress vectorとlayer matrixに対応する式を導出した。この際，震央近傍の海中及び海底における津波発生時の圧力変化の式（Saito (2019)の(5.65)式に対応）も得られた。次に，海面と海底面における反射・透過係数の式を求めた．それらlayer matrixと反射・透過行列を通常の重力項を含まないreflectivity法の当該部分の代わりに置き換えた．この方法を，竹中・渡邉 (2021）のreflectivity法の計算コードを用いて実装した．
reflectivity法は一般に周波数領域の解法で，時間領域への変換はFFTなどの数値的な方法で行われる．そのため，津波の計算ではステップ的な近地のfling-step変位（永久変位）をreflectivity法で計算する場合（例えば，Wu et al., 2021）と同様に周波数に虚数部を追加する技法の使用が本質的な役割を果たす．これは，Laplace変換をFourier変換を経由して実施し，Laplace逆変換をFFTを用いて数値的に行うことと等価である．
本研究で提案する計算法は，海底に設置された各種の関連センサーの記録を陸域の地震動観測点の波形記録ように解析して震源過程の情報を抽出することを可能にすることが期待される。
Aki, K. and P. G. Richards (2002). Quantitative Seismology (2nd edition), University Science Book, Sausalito.
Bouchon, M. (1981). A simple method to calculate Green's functions for elastic layered media, Bulletin of the Seismological Society of America, 71, 959--971.
Kennett, B. L. N. and N. J. Kerry (1979). Seismic waves in a stratified half space, Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 57, 557--583.
Luco, J. E. and R. J. Apsel (1983). On the Green’s functions for a layered half-space, Part I, Bulletin of the Seismological Society of America, 73, 909--929.
Saito, T. (2019). Tsunami Generation and Propagation, Springer, Tokyo.
竹中博士・渡邉禎貢 (2021). 水平成層構造における地中の近地理論地震記象, 岡山大学地球科学研究報告, 27(1), 29--38. https://doi.org/10.18926/ESR/61956
Wu, S-H., A. Nozu, Y. Nagasaka (2021), Accuracy of near-fault fling-step displacements estimated using the discrete wavenumber method, Bulletin of the Seismological Society of America, 111(1), 309--320.