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[MGI30-03] 陽解法に基づくブシネスク対流の線形安定性解析および高精度な粒子法による検証
キーワード：ブシネスク対流、粒子法、陽解法、最小二乗SPH法、線形安定性解析
熱対流現象は惑星マントル対流や惑星大気循環など惑星スケールのダイナミクスを支配する最も基本的なメカニズムである．特に地球マントル対流は，地球表層と深部の間の物質や熱の輸送を担っており，地球内部の構造や物質進化を語る上で重要な鍵となる[1]．
惑星スケールの熱対流計算において，陽解法に基づくメッシュフリーな粒子法は有効である．逐次計算が可能な陽解法は，連立方程式を扱う陰解法に比べ，大規模並列計算に有利である[2,3]．また，粒子法は計算点が空間的に固定されないため，格子法に比べて，物質不連続や境界の大変形，さらには複雑な構成則を容易に取り扱うことができる[4]．従って，マグマの部分溶融や沈み込むプレートの弾性的性質を考慮した惑星スケールのマントル対流計算に対して，粒子法は有用である．特に，Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) 法[5,6]と呼ばれる粒子法は汎用性が高く，天文学の星形成計算[e.g., 5,6]，惑星科学の巨大衝突計算[e.g., 7]，さらには計算工学におけるダム決壊[8]や地すべり計算[4]など幅広く応用されている．
一方，従来のSPH法は粒子配置が乱れた場合に，その精度と安定性が劇的に悪化する[e.g., 9]．その主な要因は，従来のSPH法の離散化式が粒子配置の対称性や重み関数の規格化性といった理想的状況を仮定していることにある．そのため，変形によって粒子配置が乱れると，その空間離散精度が著しく低下し，0次精度すら保証されない[9]．加えて，SPH法は陽解法に基づくため音波が存在し，これによって粒子配置が簡単に乱れてしまう．特に，音速に比べて流れが十分遅い系 (マッハ数が小さい系) では，音波による高周波な密度変化が大きな圧力変動を引き起こし，計算が不安定化しやすい[8]．
そこで，我々は高精度かつ安定的なSPH法の枠組みを新たに開発した[9]．第一に，Yamamoto and Makino (2017) [10]によって提案された理想的状況を仮定しない高精度な粒子法を参考にし，一般化されたSPH法（最小二乗SPH法 [9]）を開発した．これにより，従来の0次精度以下の精度から，少なくとも1次精度を有する手法へと昇華させた．第二に，質量保存の式に密度拡散項[e.g., 8]を加えた．これにより，遅い流れにおいて本質的でない高周波な圧力変動を迅速に抑え込むことができる．しかし，密度拡散項は人為的な安定化手法であるため，本来の物理を損なわない程度に導入すべきである．一方，熱対流系に関してその拡散パラメータの値を理論的に議論した例はない．
熱対流計算の高速化も重要な課題である．SPH法は陽解法に基づくため，音波に関する時間幅条件 (CFL条件) による制約が厳しく解きがたい．そこで，音速を低減させる手法[11]は，マッハ数が小さな熱対流系に対して有効である．マントル対流計算では粘性率が非常に大きく，粘性拡散に関するvon Neumann条件による時間幅制約も大変厳しい．この緩和を目的とし，ほとんどゼロである慣性項をある有限の値にまで増大させる慣性変化法[3]は有効である．そこで，これらを組み合わせた手法[2]は，高速なマントル対流計算の実現に不可欠である．一方，音速を低減させるパラメータと慣性を増加させるパラメータには上限があり，特にあるしきい値を超えると，元の非圧縮的な流れとは全く異なる解になることが知られている[12]．
本研究では，安定化⼿法および⾼速化⼿法を組み込んだ熱対流系に対して線形解析を⾏い，それらのパラメータの上限を定量的に調べた．解析の対象はブシネスク系とした．ただし，音速低減法を使用するため，連続の式に関して密度の時間変化項を復活させた系を考えた．本発表では，その成果の一部を高精度な最小二乗SPH法による計算と併せて報告する予定である．
本研究はJST次世代研究者挑戦的研究プログラムJPMJSP2136の支援を受けた．
References:
[1] Tronnes et al., Tectonophysics, 760, 2019
[2] Kameyama et al., J. Comput. Phys., 206, 2005
[3] Takeyama et al., New Astron., 50, 2017
[4] Morikawa and Asai, Comput. Geotech., 148, 2022
[5] Gingold, Monaghan, Mon. Notices Royal Astron. Soc., 181, 1977
[6] Lucy, Astron. J., 82, 1977
[7] Hosono et al., Nat. Geosci., 12, 2019
[8] Garoosi and Shakibaeinia, Int. J. Mech. Sci., 188, 2020
[9] Shobuzako et al., submitted, 2025
[10] Yamamoto, Makino, Publ. Astron. Soc. Jpn., 69, 2017
[11] Hotta et al., A&A, 539, 2012
[12] Kawada, JpGU, 2020
惑星スケールの熱対流計算において，陽解法に基づくメッシュフリーな粒子法は有効である．逐次計算が可能な陽解法は，連立方程式を扱う陰解法に比べ，大規模並列計算に有利である[2,3]．また，粒子法は計算点が空間的に固定されないため，格子法に比べて，物質不連続や境界の大変形，さらには複雑な構成則を容易に取り扱うことができる[4]．従って，マグマの部分溶融や沈み込むプレートの弾性的性質を考慮した惑星スケールのマントル対流計算に対して，粒子法は有用である．特に，Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) 法[5,6]と呼ばれる粒子法は汎用性が高く，天文学の星形成計算[e.g., 5,6]，惑星科学の巨大衝突計算[e.g., 7]，さらには計算工学におけるダム決壊[8]や地すべり計算[4]など幅広く応用されている．
一方，従来のSPH法は粒子配置が乱れた場合に，その精度と安定性が劇的に悪化する[e.g., 9]．その主な要因は，従来のSPH法の離散化式が粒子配置の対称性や重み関数の規格化性といった理想的状況を仮定していることにある．そのため，変形によって粒子配置が乱れると，その空間離散精度が著しく低下し，0次精度すら保証されない[9]．加えて，SPH法は陽解法に基づくため音波が存在し，これによって粒子配置が簡単に乱れてしまう．特に，音速に比べて流れが十分遅い系 (マッハ数が小さい系) では，音波による高周波な密度変化が大きな圧力変動を引き起こし，計算が不安定化しやすい[8]．
そこで，我々は高精度かつ安定的なSPH法の枠組みを新たに開発した[9]．第一に，Yamamoto and Makino (2017) [10]によって提案された理想的状況を仮定しない高精度な粒子法を参考にし，一般化されたSPH法（最小二乗SPH法 [9]）を開発した．これにより，従来の0次精度以下の精度から，少なくとも1次精度を有する手法へと昇華させた．第二に，質量保存の式に密度拡散項[e.g., 8]を加えた．これにより，遅い流れにおいて本質的でない高周波な圧力変動を迅速に抑え込むことができる．しかし，密度拡散項は人為的な安定化手法であるため，本来の物理を損なわない程度に導入すべきである．一方，熱対流系に関してその拡散パラメータの値を理論的に議論した例はない．
熱対流計算の高速化も重要な課題である．SPH法は陽解法に基づくため，音波に関する時間幅条件 (CFL条件) による制約が厳しく解きがたい．そこで，音速を低減させる手法[11]は，マッハ数が小さな熱対流系に対して有効である．マントル対流計算では粘性率が非常に大きく，粘性拡散に関するvon Neumann条件による時間幅制約も大変厳しい．この緩和を目的とし，ほとんどゼロである慣性項をある有限の値にまで増大させる慣性変化法[3]は有効である．そこで，これらを組み合わせた手法[2]は，高速なマントル対流計算の実現に不可欠である．一方，音速を低減させるパラメータと慣性を増加させるパラメータには上限があり，特にあるしきい値を超えると，元の非圧縮的な流れとは全く異なる解になることが知られている[12]．
本研究では，安定化⼿法および⾼速化⼿法を組み込んだ熱対流系に対して線形解析を⾏い，それらのパラメータの上限を定量的に調べた．解析の対象はブシネスク系とした．ただし，音速低減法を使用するため，連続の式に関して密度の時間変化項を復活させた系を考えた．本発表では，その成果の一部を高精度な最小二乗SPH法による計算と併せて報告する予定である．
本研究はJST次世代研究者挑戦的研究プログラムJPMJSP2136の支援を受けた．
References:
[1] Tronnes et al., Tectonophysics, 760, 2019
[2] Kameyama et al., J. Comput. Phys., 206, 2005
[3] Takeyama et al., New Astron., 50, 2017
[4] Morikawa and Asai, Comput. Geotech., 148, 2022
[5] Gingold, Monaghan, Mon. Notices Royal Astron. Soc., 181, 1977
[6] Lucy, Astron. J., 82, 1977
[7] Hosono et al., Nat. Geosci., 12, 2019
[8] Garoosi and Shakibaeinia, Int. J. Mech. Sci., 188, 2020
[9] Shobuzako et al., submitted, 2025
[10] Yamamoto, Makino, Publ. Astron. Soc. Jpn., 69, 2017
[11] Hotta et al., A&A, 539, 2012
[12] Kawada, JpGU, 2020