[P-66] コラッツ予想と同値な命題の発見について
Keywords:未解決問題、コラッツ予想、数論
＜概要＞
1.目的
今回の研究の目的は、
「任意の自然数nをとり、
nが偶数の場合、nを2で割る
nが奇数の場合、nに3をかけて1を足す
という操作を繰り返すと、どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず1
に到達する（そして1→4→2→1）というループに入る」
という予想であるコラッツ予想を解決する糸口をつかむこと。
2.研究方法
「コラッツ予想」において奇数のときに行う操作を「nに3をかけて2k-1(kは自然数)を足す」に変更した操作をExcelで行い、操作を変えると、どのようなループに到達するかを調べる。
3.結果
2k-1が3の累乗になっているとき、到達するループが一種類だった。
その結果から、
「任意の自然数nをとり、
nが偶数の場合、nを2で割る
nが奇数の場合、nに3をかけて3^pを足す（pは自然数）
という操作を繰り返すと、どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず3^pに到達する（そして3^p→(3^p）*4→(3^p)*2→3^p）というループに入る」
という予想を立てることができた。
4.結論
今回の研究で立てることのできた予想を逆演算を用いて分析した結果、「コラッツ予想」と同値であることが分かった。
5.今後の展望
最終目標は「コラッツ予想」を解決することなので、今回の研究で立てることのできた予想を活用して今後の研究を進めていきたい。
1.目的
今回の研究の目的は、
「任意の自然数nをとり、
nが偶数の場合、nを2で割る
nが奇数の場合、nに3をかけて1を足す
という操作を繰り返すと、どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず1
に到達する（そして1→4→2→1）というループに入る」
という予想であるコラッツ予想を解決する糸口をつかむこと。
2.研究方法
「コラッツ予想」において奇数のときに行う操作を「nに3をかけて2k-1(kは自然数)を足す」に変更した操作をExcelで行い、操作を変えると、どのようなループに到達するかを調べる。
3.結果
2k-1が3の累乗になっているとき、到達するループが一種類だった。
その結果から、
「任意の自然数nをとり、
nが偶数の場合、nを2で割る
nが奇数の場合、nに3をかけて3^pを足す（pは自然数）
という操作を繰り返すと、どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず3^pに到達する（そして3^p→(3^p）*4→(3^p)*2→3^p）というループに入る」
という予想を立てることができた。
4.結論
今回の研究で立てることのできた予想を逆演算を用いて分析した結果、「コラッツ予想」と同値であることが分かった。
5.今後の展望
最終目標は「コラッツ予想」を解決することなので、今回の研究で立てることのできた予想を活用して今後の研究を進めていきたい。
＜考察・展望＞
結果1から、私たちは次の問題と予想を考えた。
問題 「任意の正の整数nをとり、
・nが偶数の場合、nを2で割る
・nが奇数の場合、nに3をかけて3^pを足す(pは正の整数)
という操作を繰り返すと、どうなるか」
予想 「どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず
すべての自然数が3^pに到達する」
この問題を「3n+3^p問題」、そして予想を「3n+3^p予想」と呼ぶことにする。
今回の研究で、「3n+3^p予想」と「3n+3^(p+1)予想」は同値であると分かった。
ここから、「コラッツ予想」を証明するには「3n+3^p予想」のpの値がいくらの場合を証明してもいいことが分かった。この研究成果が「コラッツの問題」解決に繋がることを期待している。
これからは、今回得た情報を踏まえて、「コラッツの問題」解決に努めていきたい。
結果1から、私たちは次の問題と予想を考えた。
問題 「任意の正の整数nをとり、
・nが偶数の場合、nを2で割る
・nが奇数の場合、nに3をかけて3^pを足す(pは正の整数)
という操作を繰り返すと、どうなるか」
予想 「どんな初期値から始めても、有限回の操作のうちに必ず
すべての自然数が3^pに到達する」
この問題を「3n+3^p問題」、そして予想を「3n+3^p予想」と呼ぶことにする。
今回の研究で、「3n+3^p予想」と「3n+3^(p+1)予想」は同値であると分かった。
ここから、「コラッツ予想」を証明するには「3n+3^p予想」のpの値がいくらの場合を証明してもいいことが分かった。この研究成果が「コラッツの問題」解決に繋がることを期待している。
これからは、今回得た情報を踏まえて、「コラッツの問題」解決に努めていきたい。