9:30 AM - 9:45 AM
[S01-01] Generalized asymptotic ray theory without high-frequency approximation: Application to singular regions of seismic wavefield
高周波の地震波動場の表現には、漸近波線理論（asymptotic ray theory, ART）が古くから知られており、波長が不均質性のサイズより小さいなどの条件下で、複雑な媒質に広く応用されてきた（e.g., Cerveny, 2001）。近年は差分法など純数値的手法の適用範囲がますます拡がりつつあるものの、高周波領域での観測結果の解釈やモデル化におけるARTの重要性はむしろ高まっている。（地震波はベクトル場として性質も重要であるが、ここでは速度cに対する(1)式のスカラー波しか扱わない。ただし、本研究の主要な結果はそのまま適用できる。）従来のARTでは周波数omegaにおいて、走時tauによる位相遅れと振幅のべき乗展開の(2)式の解を仮定した。高周波近似の解としてomegaを大きくし、べき乗の上位項だけを考える。こうして、位相部分の波線追跡と走時のeikonal equationと、振幅を決定するtransport equationが得られる。
従来のARTが適用できない特異領域（例：焦点や影の部分、edge diffraction）ではomegaの整数のべき乗ではなく、解析解が得られる場合にはomega-2/3などであることがわかっている（例：Table 0.3のcanonical signals, Chapman, 2004）。そこで、本研究では(2)式のようなべき乗展開をあらわに用いない解を考える。(1)式は偏微分方程式なので、その一般的解法の一つである変数分離だけを用い、またその際に現れる未定定数に特別な制約を与えない。
まず解の形式として、(3)式のように変数分離する。未定定数lambdaを介して、tauとxについての(4)式の二つが得られる。従来のARTではlambda=-omega2で(2)式のフーリエ変換に対応するが、ここでは正負を限定せず、さらに複素数として扱う。一般解はlambdaごとの解の重ね合わせの(5)式となり、ARTではフーリエ逆変換による時間領域の解の表現に対応する。次に、従来のARTの(2)式の一般化として高周波数領域では激しく振動する部分のみ分離した、(6)式を空間変動として仮定する。Aは振幅、tauは走時に対応する関数となる。これを(4)の２番目の式に代入すると、実部と虚部から(7)と(8)の２つの式が得られる。ここで強調すべきは、この操作ではARTのようにomegaの大きな項を拾っていく（高周波極限）従来の近似操作は含まれていない点である。(7)式は右辺の第２項を除けば、ARTのeikonal equationと、(8)式はtransport equationと同一となっている。(7)式第２項は振幅Aの空間２階微分とnu-2（ARTではomega-2）により、高周波極限で振幅が大きく空間変動する特異領域以外では無視でき、ARTと一致する、すなわち、(7), (8)式はARTの一般化であることがわかる。
しかし、これでは走時tauと振幅Aがカップルした形式で、不都合である。そこで、空間座標を波線の接線成分の走時tauとそれに直交するray-centered座標(q1, q2)を導入し（Cerveny, 2001）、(9)式のような変数分離として、(7), (8)式に代入すると、新たな未定定数muを用いて、(10), (11)式が得られる。(10)式より、新しいeikonal equationは(12)式のようになる。ここで、Dとhは(13)式に従う。先のeikonal eq.の(7)式と比べて、新たな(12)式では振幅によって変動する項Dが、走時tauとその微分のみで表現される。つまり走時のみの完全に分離した定式化である点が重要である。(10)式は従来のtransport eq.と同じく、（14）式のように波線の幾何学的拡がりJで振幅が計算できる。従来のARTではomegaが無限大の近似として特異領域でJがゼロの困難があったが（hはtauのラプラシアンに比例し発散する）、ここではその制約を課さないためhは有限となり、この困難が回避される。この形式では有限な周波数に当たる未定定数を選択することで、特異領域で特徴的な周波数依存性も表現できる。
従来のARTが適用できない特異領域（例：焦点や影の部分、edge diffraction）ではomegaの整数のべき乗ではなく、解析解が得られる場合にはomega-2/3などであることがわかっている（例：Table 0.3のcanonical signals, Chapman, 2004）。そこで、本研究では(2)式のようなべき乗展開をあらわに用いない解を考える。(1)式は偏微分方程式なので、その一般的解法の一つである変数分離だけを用い、またその際に現れる未定定数に特別な制約を与えない。
まず解の形式として、(3)式のように変数分離する。未定定数lambdaを介して、tauとxについての(4)式の二つが得られる。従来のARTではlambda=-omega2で(2)式のフーリエ変換に対応するが、ここでは正負を限定せず、さらに複素数として扱う。一般解はlambdaごとの解の重ね合わせの(5)式となり、ARTではフーリエ逆変換による時間領域の解の表現に対応する。次に、従来のARTの(2)式の一般化として高周波数領域では激しく振動する部分のみ分離した、(6)式を空間変動として仮定する。Aは振幅、tauは走時に対応する関数となる。これを(4)の２番目の式に代入すると、実部と虚部から(7)と(8)の２つの式が得られる。ここで強調すべきは、この操作ではARTのようにomegaの大きな項を拾っていく（高周波極限）従来の近似操作は含まれていない点である。(7)式は右辺の第２項を除けば、ARTのeikonal equationと、(8)式はtransport equationと同一となっている。(7)式第２項は振幅Aの空間２階微分とnu-2（ARTではomega-2）により、高周波極限で振幅が大きく空間変動する特異領域以外では無視でき、ARTと一致する、すなわち、(7), (8)式はARTの一般化であることがわかる。
しかし、これでは走時tauと振幅Aがカップルした形式で、不都合である。そこで、空間座標を波線の接線成分の走時tauとそれに直交するray-centered座標(q1, q2)を導入し（Cerveny, 2001）、(9)式のような変数分離として、(7), (8)式に代入すると、新たな未定定数muを用いて、(10), (11)式が得られる。(10)式より、新しいeikonal equationは(12)式のようになる。ここで、Dとhは(13)式に従う。先のeikonal eq.の(7)式と比べて、新たな(12)式では振幅によって変動する項Dが、走時tauとその微分のみで表現される。つまり走時のみの完全に分離した定式化である点が重要である。(10)式は従来のtransport eq.と同じく、（14）式のように波線の幾何学的拡がりJで振幅が計算できる。従来のARTではomegaが無限大の近似として特異領域でJがゼロの困難があったが（hはtauのラプラシアンに比例し発散する）、ここではその制約を課さないためhは有限となり、この困難が回避される。この形式では有限な周波数に当たる未定定数を選択することで、特異領域で特徴的な周波数依存性も表現できる。