11:00 AM - 11:15 AM
[S01-01] Finite difference calculation of constant-Q seismic ground motion using Rayleigh damping
地震動を含む振動現象の減衰は，振動のエネルギーEが１周期の間にΔEだけ変化するときにQ−1 = −ΔE/2πEと定義されるQ値で表される．１次元の減衰振動が(1) u = A ei(ωt−kx) = a e−ηt ei(ωt−kx)と表されるならば，一般にEはA2に比例することから，t = 0とt = T（Tは周期）の間のエネルギーとその変化はE∝A2 ≈ a2，ΔE∝a2 e−2ηT − a2になる．従って，Q−1 = (1− e−2ηT)/2π ≈ ηT/π = η/πf である．一方，tに従って減衰するのではなく，xに従って減衰するとした場合，(2) u = a e−ςx ei(ωt−kx)とすることができる．このとき，E，ΔEはx = 0とx = L（L は波長）の間のエネルギーとその変化となり，L = υ/f を用いるとQ−1 = ςυ/πfである．
１次元媒質が完全弾性体ならば応力－ひずみ関係がτ = γ eと表わされるとする．減衰のためにその関係がτ = γ *∂e/∂t（*はコンボリューション）となるとき，運動方程式は(1)式を解とした減衰振動方程式となる．方程式の中の減衰係数は2πfρ/Qとなるから，この減衰は質量比例減衰と呼ばれる（質量は密度を意味する）．上記からQ−1 = η/πf で，参照周波数frにおいてQ値がQrならばη = 1/πfQrであるから，Q値スペクトルはQ(f) = Qr f / frになる（図の濃い灰色実線）．一方，応力－ひずみ関係をτ = γ e+Γ∂e/∂tとすると，運動方程式は(2)式を解とする減衰振動方程式となる．その減衰係数はΓに関係し，Γはγ（弾性定数，剛性とも呼ばれる）に比例すると考えられるので，この減衰は剛性比例減衰と呼ばれる．(2)式を代入した方程式を解いて得られるς =ω2Γ/2υγ と上記のQ−1 = ςυ/πfから，Q−1 = 2πf Γ/γとなる．参照周波数frにおいてQ値がQrならばΓ/γ = 1/2πfrQr であるから，Q値スペクトルはQ(f) = Qr fr /fになる（図の薄い灰色実線）．
現実の地震動の減衰では，質量比例減衰と剛性比例減衰が，ある割合で組み合わされて実現されるとする（Rayleigh 減衰）．1 次元媒質の場合，この割合は，それぞれの減衰振動（(1)式と(2)式）の中の減衰項の指数にかかる重みwρ，wυで表わされるとする．その結果とx =υtからRayleigh 減衰の減衰振動方程式はu = a exp{−(wρη/υ+wυς)x} ei(ωt−kx)と表わされるはずである．剛性比例減衰と同様の導出で，Rayleigh減衰のQ値がQ−1=(wρη/υ+wυς)υ/πfと得られる．参照周波数frが与えられ，そこにおける質量比例減衰と剛性比例減衰のQ 値をそれぞれQρr，Qυrとすると，Q(f) = 1/( wρ fr/f Qρr+wυf/frQυr)が得られる．
以上を3 次元媒質に拡張すると，Rayleigh 減衰の中の剛性比例減衰はP 波とS 波に分けられ，それらの減衰項の指数への重みをwα，wβ，参照周波数におけるQ 値をQαr，Qβrとする．目標とするQ一定減衰もP波とS波に分けられ，一定値をQα0，Qβ0とすると，Q 一定減衰がRayleigh 減衰で実現されるならば(3) Qα0 = Qα(f)，Qβ0 = Qβ(f)が成り立つはずである．さらにはQαr =Qα0，Qβr= Qβ0を仮定し．地震動は主にS波で構成されるので，質量比例減衰ではQρr= Qβ0とする．3つの周波数f1，f2，f3において(3)式のうちのひとつが成り立つとして3本の連立方程式を立てられれば，3つの重みwρ，wα，wβを決めることができる．S波を重視して，周波数2つf1，f2はS波の方程式に割り当てるとする．
池上（2009）が挙げている計算例からQα0=20，Qβ0=10，fr = 0.5 Hz，f1 = 0.2 Hz，f2 = 1.0 Hz，f3 = 0.44 Hzの場合を考えると，図の中に黒色の太い点線および太い実線で示されているP波Rayleigh減衰とS波Rayleigh減衰が得られる．後者はf1以上で概ねQβ0に近く，前者はf3以上で概ねQα0に近くなっている．このほか，重みを最小二乗法で決める計算例も行った．Rayleigh減衰を導入した2次元差分法を，標準線形固体1つまたは5つを導入した2次元差分法と比較すると，標準線形固体1つと同程度の計算時間で同5つと同程度の精度が得られた．
１次元媒質が完全弾性体ならば応力－ひずみ関係がτ = γ eと表わされるとする．減衰のためにその関係がτ = γ *∂e/∂t（*はコンボリューション）となるとき，運動方程式は(1)式を解とした減衰振動方程式となる．方程式の中の減衰係数は2πfρ/Qとなるから，この減衰は質量比例減衰と呼ばれる（質量は密度を意味する）．上記からQ−1 = η/πf で，参照周波数frにおいてQ値がQrならばη = 1/πfQrであるから，Q値スペクトルはQ(f) = Qr f / frになる（図の濃い灰色実線）．一方，応力－ひずみ関係をτ = γ e+Γ∂e/∂tとすると，運動方程式は(2)式を解とする減衰振動方程式となる．その減衰係数はΓに関係し，Γはγ（弾性定数，剛性とも呼ばれる）に比例すると考えられるので，この減衰は剛性比例減衰と呼ばれる．(2)式を代入した方程式を解いて得られるς =ω2Γ/2υγ と上記のQ−1 = ςυ/πfから，Q−1 = 2πf Γ/γとなる．参照周波数frにおいてQ値がQrならばΓ/γ = 1/2πfrQr であるから，Q値スペクトルはQ(f) = Qr fr /fになる（図の薄い灰色実線）．
現実の地震動の減衰では，質量比例減衰と剛性比例減衰が，ある割合で組み合わされて実現されるとする（Rayleigh 減衰）．1 次元媒質の場合，この割合は，それぞれの減衰振動（(1)式と(2)式）の中の減衰項の指数にかかる重みwρ，wυで表わされるとする．その結果とx =υtからRayleigh 減衰の減衰振動方程式はu = a exp{−(wρη/υ+wυς)x} ei(ωt−kx)と表わされるはずである．剛性比例減衰と同様の導出で，Rayleigh減衰のQ値がQ−1=(wρη/υ+wυς)υ/πfと得られる．参照周波数frが与えられ，そこにおける質量比例減衰と剛性比例減衰のQ 値をそれぞれQρr，Qυrとすると，Q(f) = 1/( wρ fr/f Qρr+wυf/frQυr)が得られる．
以上を3 次元媒質に拡張すると，Rayleigh 減衰の中の剛性比例減衰はP 波とS 波に分けられ，それらの減衰項の指数への重みをwα，wβ，参照周波数におけるQ 値をQαr，Qβrとする．目標とするQ一定減衰もP波とS波に分けられ，一定値をQα0，Qβ0とすると，Q 一定減衰がRayleigh 減衰で実現されるならば(3) Qα0 = Qα(f)，Qβ0 = Qβ(f)が成り立つはずである．さらにはQαr =Qα0，Qβr= Qβ0を仮定し．地震動は主にS波で構成されるので，質量比例減衰ではQρr= Qβ0とする．3つの周波数f1，f2，f3において(3)式のうちのひとつが成り立つとして3本の連立方程式を立てられれば，3つの重みwρ，wα，wβを決めることができる．S波を重視して，周波数2つf1，f2はS波の方程式に割り当てるとする．
池上（2009）が挙げている計算例からQα0=20，Qβ0=10，fr = 0.5 Hz，f1 = 0.2 Hz，f2 = 1.0 Hz，f3 = 0.44 Hzの場合を考えると，図の中に黒色の太い点線および太い実線で示されているP波Rayleigh減衰とS波Rayleigh減衰が得られる．後者はf1以上で概ねQβ0に近く，前者はf3以上で概ねQα0に近くなっている．このほか，重みを最小二乗法で決める計算例も行った．Rayleigh減衰を導入した2次元差分法を，標準線形固体1つまたは5つを導入した2次元差分法と比較すると，標準線形固体1つと同程度の計算時間で同5つと同程度の精度が得られた．