[MGI40-P03] RBF移流モデルに対するSchmidt変換を用いた局所節点細密化
キーワード：地球流体力学、移流スキーム、動径基底関数
地球流体の大規模運動において主要である移流の計算にオイラー法を用いた場合、渦のような局所的な変化が大きい部分に対する微分を精度よく求めるには高解像度が必要となる。本研究では、球面上の2次元の渦の巻き上げ実験において節点を局所的に細密化する手法を評価する。
本研究では、Radial basis function(RBF)を基底関数として変数を展開し、微分演算子を構築する(Flyer and Wright 2007)[1]。この手法は以下のような特長がある。1) RBFは距離のみに依存するため、座標系に依存せず、例えば微分演算子は球座標のように極で特異になることはない。2) RBFは実装が簡潔で高次元化しても複雑化することがほとんどない。3) 任意の場所に節点を置くことができるので、球面上で格子の制約にとらわれずにより一様な節点配置が可能である。
RBFによる移流計算は準一様な節点を用いれば、節点数の増加に伴って誤差がスペクトル的に収束することがわかっている。しかし節点数を増やすと係数行列の条件数が大きくなり、精度を保ったまま高解像度にすることが難しい。大域的に一様な高解像度化は困難でも、高解像度が必要な箇所が局所的である場合には局所的細密化を用いることができる。
Flyer and Lehto (2010)[2]ではRBFを用いた渦の巻き上げ実験において、最小エネルギー節点から静電反発法を用いて局所的細密化節点を作り、渦の中心付近を高解像度化し、数値実験の精度を向上させた。しかし静電反発法を用いた局所的細密化節点の作成には、反復法による数値的最適化を用いるため、高い節点数では収束させることが難しい。そこで本研究では決定論的な局所的な細密化手法としてSchmidt変換を用いた。渦の巻き上げ実験を行い、細密化を決める任意定数c0と精度の関係や、局所的細密化節点を用いることによる精度の向上を調べた。実験ではRBFの形を決める任意パラメータ は節点間距離の最小値を用いて作成した。変動する形状パラメータと細密化による条件数の向上が見られた。しかし集めすぎると、最大形状パラメータが大きくなり近似の精度が落ちるため、精度が悪化することが確認された。局所的細密化を用いた節点では、節点数N=4096で正規化誤差l1,l2ともにおよそ7倍の精度の向上が確認された。
謝辞
本研究はJSPS科研費JP19H05605の助成を受けた。
Reference
[1] Flyer, N., G.B. Wright, J. Comput. Phys. 226 (2007) 1059–1084.
[2] Flyer, N. and E. Lehto, J. Comput. Phys 229 (2010) 1954–1969.
本研究では、Radial basis function(RBF)を基底関数として変数を展開し、微分演算子を構築する(Flyer and Wright 2007)[1]。この手法は以下のような特長がある。1) RBFは距離のみに依存するため、座標系に依存せず、例えば微分演算子は球座標のように極で特異になることはない。2) RBFは実装が簡潔で高次元化しても複雑化することがほとんどない。3) 任意の場所に節点を置くことができるので、球面上で格子の制約にとらわれずにより一様な節点配置が可能である。
RBFによる移流計算は準一様な節点を用いれば、節点数の増加に伴って誤差がスペクトル的に収束することがわかっている。しかし節点数を増やすと係数行列の条件数が大きくなり、精度を保ったまま高解像度にすることが難しい。大域的に一様な高解像度化は困難でも、高解像度が必要な箇所が局所的である場合には局所的細密化を用いることができる。
Flyer and Lehto (2010)[2]ではRBFを用いた渦の巻き上げ実験において、最小エネルギー節点から静電反発法を用いて局所的細密化節点を作り、渦の中心付近を高解像度化し、数値実験の精度を向上させた。しかし静電反発法を用いた局所的細密化節点の作成には、反復法による数値的最適化を用いるため、高い節点数では収束させることが難しい。そこで本研究では決定論的な局所的な細密化手法としてSchmidt変換を用いた。渦の巻き上げ実験を行い、細密化を決める任意定数c0と精度の関係や、局所的細密化節点を用いることによる精度の向上を調べた。実験ではRBFの形を決める任意パラメータ は節点間距離の最小値を用いて作成した。変動する形状パラメータと細密化による条件数の向上が見られた。しかし集めすぎると、最大形状パラメータが大きくなり近似の精度が落ちるため、精度が悪化することが確認された。局所的細密化を用いた節点では、節点数N=4096で正規化誤差l1,l2ともにおよそ7倍の精度の向上が確認された。
謝辞
本研究はJSPS科研費JP19H05605の助成を受けた。
Reference
[1] Flyer, N., G.B. Wright, J. Comput. Phys. 226 (2007) 1059–1084.
[2] Flyer, N. and E. Lehto, J. Comput. Phys 229 (2010) 1954–1969.